柯西-黎曼方程

复分析中的柯西-黎曼微分方程(英语:Cauchy–Riemann equations),又称柯西-黎曼条件[1]。是提供了可微函数开集中为全纯函数充要条件的两个偏微分方程,以柯西黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。

在一对实值函数 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程:

(1a)    

(1b)    

通常, 取为一个复函数的实部虚部。假设 开集 连续可微,则当且仅当 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b),全纯

注释和其他表述

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共形映射

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柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先,它们可以写成复数形式:

(2)     

在此形式中,方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

 

其中  。该形式的矩阵是复数的矩阵表示。几何上,这样的一个矩阵总是一个旋转和一个缩放复合,从而是保角(保持角度不变)的。因此,满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即,柯西-黎曼方程是函数成为共形映射的条件。

共轭的独立性

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方程组有时也被写作一个方程

(3)     

其中微分算子 定义为

 

在此形式中,柯西-黎曼方程可以解释为 独立于变量 

可微性

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柯西-黎曼方程是函数的可微性(或称全纯性)的充要条件(Ahlfors 1953,§1.2)。精确的讲,设

 

为复数zC的函数,则f在点z0导数定义为

 

如果该极限存在。

若该极限存在,则可以取h→0沿着实轴或者虚轴的极限;它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近,得到

 

而从虚轴逼近有

 

f沿着两个轴的导数相同也即

 

这就是在点z0的柯西-黎曼方程(2)。

反过来,如果f:CC作为映射到R2上的函数可微,则f可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。

物理解释

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柯西-黎曼方程的一个解释(Pólya & Szegö 1978)和变理论无关。设uvR2的开子集上满足柯西-黎曼方程,考虑向量场

 

将其视为(实)两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程(1b)断言 无旋

 

第一个柯西-黎曼方程(1a)断言该向量场无源(或者是零散度):

 

分别根据格林定理散度定理,这样的场是保守的,而且没有源,在整个开域上净流量为零。(这两点在柯西积分定理中作为实部和虚部结合起来。)在流体力学中,这样的一个场是一个势流(Chanson 2000)。在静磁学中,这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静磁场的模型。在静电学中,它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。

其它解释

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柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他坐标系中。若(1a)和(1b)对于连续函数uv成立,则如下方程也成立

 

对于任何坐标(n(x,y), s(x,y)),如果它们满足 正交并且正定向。因此,特别的有,在极坐标z=re下,方程组有如下形式

 

结合成一个f的方程,就有

 

非齐次方程

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非齐次柯西-黎曼方程由两个未知两个实变量的函数u(x,y)和v(x,y)的方程组成

 
 

对于给定的定义在R2的开子集上的函数α(x,y)和β(x,y)。这些方程经常合并为一个方程。

 

其中f=u+iv,φ=(α+iβ)/2。

若φ是Ck的,则在有界区域D中方程显式可解,只要φ在D闭包上连续。实际上,按照柯西积分公式

 

对于所有ζ∈D成立。

推广

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Goursat定理及其推广

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f = u+iv为复函数,作为函数f : R2R2可微。则柯西积分定理(柯西-古尔萨定理)断言f在开域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程(Rudin 1966,Theorem 11.2)。特别是,f不需假定为连续可微(Dieudonné 1969,§9.10, Ex. 1)。

柯西-古尔萨定理的假设可以大幅减弱;f不需可微,只要f=u+iv在Ω上连续且f关于xy偏导数在Ω中存在即可,这个结果称为Looman–Menchoff定理

f在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数,但它不在该点解析(譬如,f(z) = z5/|z|4)。只满足柯西-黎曼方程也是不够的,(需额外满足连续性),下面的例子表明了这一点:(Looman 1923,第107页)

 

它处处满足柯西-黎曼方程,但在z=0不连续。

但是,如果一个函数在开集上以弱形式满足柯西-黎曼方程,则函数解析。更精确的讲(Gray & Morris 1978,Theorem 9):

  • f(z)在开域Ω⊂C上局部可积,并以弱形式满足柯西-黎曼方程,则f和Ω上的一个解析函数几乎处处相等。

多变量的情况

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多复变量的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重过约束系统。通常的表述中,d-bar算子

 

将全纯函数消零。这是

 ,

的直接推广 其中

 

参看

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参考

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外部链接

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  1. ^ 《数学物理方法》. 王友年. 宋远红. 大连理工大学出版社