柯西-黎曼方程

複分析中的柯西-黎曼微分方程(英語:Cauchy–Riemann equations),又稱柯西-黎曼條件[1]。是提供了可微函數開集中為全純函數充要條件的兩個偏微分方程,以柯西黎曼得名。這個方程組最初出現在達朗貝爾的著作中。後來歐拉將此方程組和解析函數聯繫起來。 然後柯西採用這些方程來構建他的函數理論。黎曼關於此函數理論的論文於1851年問世。

在一對實值函數 上的柯西-黎曼方程組包括兩個方程:

(1a)    

(1b)    

通常, 取為一個複函數的實部虛部。假設 開集 連續可微,則當且僅當 的偏微分滿足柯西-黎曼方程組(1a)和(1b),全純

注釋和其他表述

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共形映射

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柯西-黎曼方程常常表述為其他形式。首先,它們可以寫成複數形式:

(2)     

在此形式中,方程對應於雅可比矩陣結構上有如下形式

 

其中  。該形式的矩陣是複數的矩陣表示。幾何上,這樣的一個矩陣總是一個旋轉和一個縮放複合,從而是保角(保持角度不變)的。因此,滿足柯西-黎曼方程的有非零導數的函數保持平面曲線的角度不變。也即,柯西-黎曼方程是函數成為共形映射的條件。

共軛的獨立性

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方程組有時也被寫作一個方程

(3)     

其中微分算子 定義為

 

在此形式中,柯西-黎曼方程可以解釋為 獨立於變量 

可微性

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柯西-黎曼方程是函數的可微性(或稱全純性)的充要條件(Ahlfors 1953,§1.2)。精確的講,設

 

為複數zC的函數,則f在點z0導數定義為

 

如果該極限存在。

若該極限存在,則可以取h→0沿着實軸或者虛軸的極限;它在兩種情況下應該給出同樣的結果。從實軸逼近,得到

 

而從虛軸逼近有

 

f沿着兩個軸的導數相同也即

 

這就是在點z0的柯西-黎曼方程(2)。

反過來,如果f:CC作為映射到R2上的函數可微,則f可微當且僅當柯西-黎曼方程成立。

物理解釋

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柯西-黎曼方程的一個解釋(Pólya & Szegö 1978)和變理論無關。設uvR2的開子集上滿足柯西-黎曼方程,考慮向量場

 

將其視為(實)兩個分量的向量。則第二個柯西-黎曼方程(1b)斷言 無旋

 

第一個柯西-黎曼方程(1a)斷言該向量場無源(或者是零散度):

 

分別根據格林定理散度定理,這樣的場是保守的,而且沒有源,在整個開域上淨流量為零。(這兩點在柯西積分定理中作為實部和虛部結合起來。)在流體力學中,這樣的一個場是一個勢流(Chanson 2000)。在靜磁學中,這樣的向量場是在不含電流的平面區域中的靜磁場的模型。在靜電學中,它們提供了不包含電荷的平面區域的電場模型。

其它解釋

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柯西-黎曼方程的其他表述有時出現在其他坐標系中。若(1a)和(1b)對於連續函數uv成立,則如下方程也成立

 

對於任何坐標(n(x,y), s(x,y)),如果它們滿足 正交並且正定向。因此,特別的有,在極坐標z=re下,方程組有如下形式

 

結合成一個f的方程,就有

 

非齊次方程

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非齊次柯西-黎曼方程由兩個未知兩個實變量的函數u(x,y)和v(x,y)的方程組成

 
 

對於給定的定義在R2的開子集上的函數α(x,y)和β(x,y)。這些方程經常合併為一個方程。

 

其中f=u+iv,φ=(α+iβ)/2。

若φ是Ck的,則在有界區域D中方程顯式可解,只要φ在D閉包上連續。實際上,按照柯西積分公式

 

對於所有ζ∈D成立。

推廣

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Goursat定理及其推廣

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f = u+iv為複函數,作為函數f : R2R2可微。則柯西積分定理(柯西-古爾薩定理)斷言f在開域Ω上解析當且僅當它在該域上滿足柯西-黎曼方程(Rudin 1966,Theorem 11.2)。特別是,f不需假定為連續可微(Dieudonné 1969,§9.10, Ex. 1)。

柯西-古爾薩定理的假設可以大幅減弱;f不需可微,只要f=u+iv在Ω上連續且f關於xy偏導數在Ω中存在即可,這個結果稱為Looman–Menchoff定理

f在整個域Ω上滿足柯西-黎曼方程是要點。可以構造在一點滿足柯西-黎曼方程的連續函數,但它不在該點解析(譬如,f(z) = z5/|z|4)。只滿足柯西-黎曼方程也是不夠的,(需額外滿足連續性),下面的例子表明了這一點:(Looman 1923,第107頁)

 

它處處滿足柯西-黎曼方程,但在z=0不連續。

但是,如果一個函數在開集上以弱形式滿足柯西-黎曼方程,則函數解析。更精確的講(Gray & Morris 1978,Theorem 9):

  • f(z)在開域Ω⊂C上局部可積,並以弱形式滿足柯西-黎曼方程,則f和Ω上的一個解析函數幾乎處處相等。

多變量的情況

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多複變量的理論中有對柯西-黎曼方程的恰當推廣。他們組成一個偏微分方程的嚴重過約束系統。通常的表述中,d-bar算子

 

將全純函數消零。這是

 ,

的直接推廣 其中

 

參看

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參考

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外部連結

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  1. ^ 《數學物理方法》. 王友年. 宋遠紅. 大連理工大學出版社