在數學上,可數集,或稱可列集,是與自然數集的某個子集具有相同基數等勢)的集合。在這個意義下,可數集由有限可數集無限可數集組成。不是可數集的無窮集稱為不可數集。這個術語是康托爾創造的。可數集的元素,正如其名,是「可以計數」的:儘管計數有可能永遠無法終止,集合中每一個特定的元素都將對應一個自然數。

「可數集」這個術語有時也指代可數無窮集,即僅代表能和自然數集本身一一對應的集合[1]。兩個定義的差別在於有限集合在前者中算作可數集,而在後者中不算作可數集。

為了避免歧義,前一種意義上的可數有時稱為至多可數[2],後一種可數集則稱為無限可數集[3]

定義

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如果從 自然數集合 存在單射函數,則 稱為可數集。[4]

如果 還是滿射,則同樣是對射,則稱 無限可數集

換句話說,一個集合要想是無限可數集,它要和自然數集 一一對應關係。

如上所述,這個術語不普遍:一些作者在這裡使用可數來表示被稱為「無限可數」,並沒有包括有限集。

介紹

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由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的,因為我們可以將所有的 都對應到 ,如此就完成了一一對應。類似地,不難證明所有整數構成的集合 、所有有理數構成的集合 、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。

並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合 是不可列的,即  之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數,因為剛才已經說過代數數是可列的;於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明

正規定義和性質

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由定義,如果存在從 自然數集合 存在單射函數 ,則 稱為可數集。

這似乎自然地把集合劃分為不同類別:把所有包含一個元素的集合放在一起;包含兩個元素的集合在一起......最後,把所有無限集合放在一起,並認為它們具有相同的大小。然而,在大小的自然定義下,這種觀點是不確切的。

為了闡述這一點,我們需要一個對射的概念。雖然對射看起來比數更加高深,但原本數學發展中集論定義函數要先於數字。因為它們都是基於更簡單的集合。這就引出了對射的概念:

 

由於 的每個元素都可以和 準確的一個配對,並且反過來也同樣,這就定義了一個對射。

我們將這個情境一般化,定義若且唯若它們之間存在對射,兩個集合的大小相同。對於有限集,這裡給出了「大小相同」的常用定義。那麼對於無限集呢?

考慮集合 (正整數集),和 (正偶數集)。我們說,在我們的定義下,這些集合有相同的大小,並且因此B是無限可數集。我們需要證明它們之間存在對射。但這是很簡單的,運用 ,那麼

 

正如前面的例子, 的每個元素都已和 準確的一個配對,並且反過來也同樣。因而它們大小相同。這給出了一個集合與其一個合適的子集大小相同的例子,這種情形在有限集中是不可能的。

同樣,自然數的有序對的集合,也就是自然數集合的笛卡兒積  ,是無限可數集,可以沿著圖中的一種路徑:

 
康拖爾配對函數給每一對自然數分配了一個自然數

配對結果就像這樣:

 

顯然這個映射可以覆蓋所有這些有序對。另一個證明方法是可以定義一個從自然數集合的笛卡兒積  到自然數集合 單射函數 

利用數學歸納法,可知在n是個有限的自然數時,自然數集合的n-元笛卡兒積  是可數的。利用自然數集的笛卡兒積是可數的這點,可以證明整數集和有理數集是可數集,這是因為整數可以視為自然數的有序對(可將正整數 給視為 ,將負整數 給視為 ),而以最簡分數形式表示的有理數 也可視為整數的有序對 所致。

另外,可數無限多個可數集的聯集是可數的,這是因為可以定義一個單射函數,將可數無限多個可數集的聯集給映至自然數集合的笛卡兒積  之故。

不過可數無限多個自然數集合的笛卡兒積不是可數的,這可以透過康托的對角論證法證明。

參見

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註解

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  1. ^ 例子參見(Rudin 1976,Chapter 2)
  2. ^ 參見(Lang 1993,§2 of Chapter I).
  3. ^ 參見(Apostol 1969,Chapter 13.19).
  4. ^ 因為顯然NN* = {1, 2, 3, ...}之間顯然存在對射,無所謂是否把0算作自然數。在任何情況,這篇文章都遵循ISO 31-11數學邏輯中的標準傳統,將0作為自然數。

參考資料

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