拉普拉斯算子

數學以及物理中,拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符(英語:Laplace operator, Laplacian)是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度散度給出的微分算子,通常寫成

這名字是為了紀念法國數學家皮耶爾-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子,當它被施加到一個給定的重力位(Gravitational potential)的時候,其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零 函數稱為調和函數,現在稱為拉普拉斯方程,和代表了在自由空間中的可能的重力場。

拉普拉斯算子有許多用途,此外也是橢圓算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程裏。例如,常用於波方程數學模型熱傳導方程流體力學以及亥姆霍茲方程。在靜電學中,拉普拉斯方程泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中,其代表薛定諤方程中的動能項。

拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子,並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心,並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理計算機視覺中,拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測邊緣檢測等的各種任務。

定義

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拉普拉斯算子是 n歐幾里得空間中的一個二階微分算子,其定義為對函數   先作梯度運算( )後,再作散度運算( )的結果。因此如果  二階可微實函數,則   的拉普拉斯算子定義為:

  ── (1)

  的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標系   中的所有非混合二階偏導數

  ── (2)

作為一個二階微分算子,對於k ≥ 2,拉普拉斯算子把Ck函數映射到Ck-2函數。表達式((1)或(2))定義了一個算子Δ:Ck(Rn)→ Ck-2(Rn),或更一般地,定義了一個算子Δ:Ck(Ω)→ Ck-2(Ω),對於任何開集Ω。

函數的拉普拉斯算子也是該函數的海森矩陣

 

坐標表示式

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二維空間

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其中xy代表x-y平面上的笛卡爾坐標
另外極坐標的表示法為:
 

三維空間

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笛卡爾坐標系下的表示法
 
圓柱坐標系下的表示法
 
球坐標系下的表示法
 

N維空間

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在參數方程為 (其中 以及 )的 維球坐標系中,拉普拉斯算子為:

 

其中  維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。我們也可以把 的項寫成 

恆等式

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  • 如果fg是兩個函數,則它們的乘積的拉普拉斯算子為:
 

f是徑向函數 g球諧函數 ,是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。 的梯度是一個徑向向量,而角函數的梯度與徑向向量相切,因此:

 

球諧函數還是球坐標系中的拉普拉斯算子的角部分的特徵函數:

 

因此:

 

譜理論

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拉普拉斯算子的譜由特徵值 和對應的特徵函數 組成,滿足:

 

這就是所謂的亥姆霍茲方程

如果  中有界,拉普拉斯算子的特徵函數時希爾伯特空間 下的一組標準正交基。這主要是因為自伴隨算子的譜定理,適用於拉普拉斯的逆算子(根據龐加萊不等式和Rellich-Kondrachov定理,它是緊算子)。這也可以表明特徵函數是無窮階可微的函數。更一般地說,這些結果對任何有界緊黎曼流形上的拉普拉斯-貝特拉米算子都是成立的,或者說對任何有邊界上具有光滑系數的橢圓算子的Dirichlet特徵值問題也成立。當Ω為N維球面時,拉普拉斯的特徵函數是球諧函數

推廣

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複雜空間上的實值函數

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拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間,這時它就有可能是橢圓算子雙曲算子、或超雙曲算子

閔可夫斯基空間中,拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子(英語:d'Alembertian):

 

達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號,而在歐幾里德空間中則是正號。因子c是需要的,這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量;如果x方向用寸來衡量,y方向用厘米來衡量,也需要一個類似的因子。

值域爲複雜空間

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向量值函數的拉普拉斯算子

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拉普拉斯算子作用在向量值函數上,其結果被定義爲一個向量,這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯,卽

 

更一般地,對沒有坐標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恆等式的啓發):

 ,也可用類似於拉普拉斯-德拉姆算子的方式定義,然後證明「旋度的旋度」向量恆等式.

拉普拉斯-貝爾特拉米算子

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拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子,稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子。達朗貝爾算子則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型算子。拉普拉斯–貝爾特拉米算子還可以推廣為運行於張量場上的算子(也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子)。

另外一種把拉普拉斯算子推廣到偽黎曼流形的方法,是通過拉普拉斯–德拉姆算子,它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米算子聯繫起來。

參見

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參考文獻

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  • Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970. 
  • Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604. 
  • Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979. 

外部連結

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