數值分析中,割線法是一個求根算法,該方法用一系列割線的根來近似代替函數f的根。

方法

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割線法的最初兩個疊代。紅色曲線表示函數f,藍色曲線表示割線。

割線法由以下的遞歸關係定義:

 

從上式中可以看出,割線法需要兩個初始值x0x1,它們離函數的根越近越好。

方法的推導

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給定xn−1xn,我們作通過點(xn−1, f(xn−1))和(xn, f(xn))的直線,如右圖所示。注意這條直線是函數f割線,或弦。這條割線的點斜式直線方程為:

 

我們現在選擇xn+1為這條割線的根,因此xn+1滿足以下的方程:

 

解這個方程,便可以得出割線法的遞歸關係。

收斂

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如果初始值x0x1離根足夠近,則割線法的第n次疊代x收斂於f的一個根。收斂速率為α,其中:

 

黃金比。特別地,收斂速率是超線性的。

這個結果只在某些條件下才成立,例如f是連續的二階可導函數,且函數的根不是重根。

如果初始值離根太遠,則不能保證割線法收斂。